2004년08월08일 99번
[사회통계] 여론조사 기관에서 특정 프로그램의 시청률을 조사하기 위하여 100명의 시청자를 임의로 추출하여 시청여부를 물었더니 이중 10명이 시청하였다. 이때 이 프로그램의 시청률에 대한 95% 신뢰구간을 구하면? (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z는 P(Z＞1.96)=0.025를 만족한다.)
- ① (0.0412, 0.1588)
- ② (0.0512, 0.1488)
- ③ (0.0312, 0.1688)
- ④ (0.0612, 0.1388)
(정답률: 알수없음)
문제 해설
연도별
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진행 상황
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시청자 중에서 시청한 사람의 비율을 p라고 하면, 이는 이항분포 B(100, p)를 따른다. 여기서 100은 시청자의 총 수이다.
이때, 10명의 시청자가 있으므로, p의 추정값은 0.1이다.
95% 신뢰구간을 구하기 위해서는 표준정규분포를 사용할 수 있다. 이때, 신뢰수준이 95%이므로, 양쪽 꼬리의 확률이 각각 0.025가 되도록 하는 z값을 찾아야 한다.
P(Z > 1.96) = 0.025 이므로, P(Z < -1.96) = 0.025이다.
이때, 표준정규분포의 확률밀도함수를 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.
P(-1.96 < Z < 1.96) = P(Z < 1.96) - P(Z < -1.96) = 0.95
즉, p의 95% 신뢰구간은 다음과 같다.
0.1 ± 1.96 * sqrt(0.1 * 0.9 / 100)
= (0.0412, 0.1588)
따라서, 정답은 "(0.0412, 0.1588)"이다.